sábado, 21 de junho de 2014

Segunda Lei de Newton

''A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida''.
A segunda lei de Newton, também chamada de princípio fundamental da dinâmica, afirma que a força resultante em uma partícula é igual à taxa temporal de variação do seu momento linear \scriptstyle \vec p em um sistema de referência inercial:
\vec {F} = \frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t} = \frac{\mathrm{d}(m \vec v)}{\mathrm{d}t}.
Esta lei, conforme acima apresentada, tem validade geral, contudo para sistemas onde a massa é uma constante, a massa pode ser retirada da razão (derivada), o que resulta na conhecida expressão muito difundida no ensino médio.
\vec {F} = m\,\frac{\mathrm{d}\vec {v}}{\mathrm{d}t} = m\vec {a},
ou, de forma direta,
\vec {F} = m\vec {a}.
Nesta expressão, \scriptstyle \vec F é a força resultante aplicada, m é a massa (constante) do corpo e \scriptstyle \vec a é a aceleração do corpo. A força resultante aplicada a um corpo produz uma aceleração a ela diretamente proporcional.
Embora em extensão igualmente válido, neste contexto faz-se fácil perceber que, sendo a massa, o comprimento e o tempo definidos como grandezas fundamentais, a força é uma grandeza derivada. Em termos de unidades padrões, newton (N), quilograma (kg) metro (m) e segundo (s), tem-se:
1N=1kg \frac {m}{s^2} .
Em casos de sistemas à velocidades constantes e massa variável, a exemplo um fluxo constante de calcário caindo sobre uma esteira transportadora em uma indústrias de cimento, a velocidade pode ser retirada da derivada e a força horizontal sobre a esteira pode ser determinada como:
\vec {F} = \vec {v} \,\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = \vec v \dot m .
onde \scriptstyle \vec v  é a velocidade constante da esteira e \scriptstyle \dot m  é a taxa temporal de depósito de massa sobre esta (em Física usualmente se usa o ponto como abreviação de taxa (derivada) temporal: \scriptstyle \dot m = \frac {dm}{dt})
Em casos mistos onde há variação tanto da massa como da velocidade - a exemplo do lançamento do ônibus espacial - ambos os termos fazem-se necessários, e esses são separáveis apenas mediante mecanismos matemáticos adequados (regra do produto).
A segunda lei de Newton em sua forma primeira, \scriptstyle \vec {F} = \frac{\mathrm {d}\vec {p}}{\mathrm {d}t}, ainda é válida mesmo se os efeitos da relatividade especial forem considerados, contudo no âmbito da relatividade a definição de momento de uma partícula sofre modificação, sendo a definição de momento como o produto da massa de repouso pela velocidade válida apenas no âmbito da física clássica

  •  Impulso


Um impulso \scriptstyle \vec I ocorre quando uma força \scriptstyle \vec F age em um intervalo de tempo Δt, e é dado por:
\vec {I} = \int_{\Delta t} \vec F \,\mathrm{d}t .
Se a força que atua é constante durante o tempo no qual atual, esta definição integral reduz-se à definição usualmente apresentada em nível de ensino médio:
\vec {I} = \vec F \Delta t .
Já que força corresponde à derivada do momento no tempo, não é difícil mostrar que:
\vec {I} = \Delta\vec {p} = \vec {p_f} - \vec {p_i}
Trata-se do teorema do impulso variação da quantidade de movimento, muito útil na análise de colisões e impactos.

  • Sistema de partículas e massa variável


Sistemas de massa variável, como um foguete queimando combustível e ejetando partes, não é um sistema fechado; e com a massa não é constante, não se pode tratá-lo diretamente via segunda lei conforme geralmente apresentada nos cursos de ensino médio, \scriptstyle \vec F = m \vec a .

O raciocínio, apresentado bem como em outros textos atuais, diz que a segunda lei de Newton nesta forma se aplica fundamentalmente a partículas. Na mecânica clássica, partículas tem por definição massa constante. No caso de um sistema de partículas bem definido, contudo com a massa total constante (sistema fechado), mostra-se que esta forma da lei de Newton pode ser estendida ao sistema como um todo, tendo-se então que:
\Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext.}} = M\vec {a}_\mathrm{c.m.}
onde \scriptstyle \Sigma \vec {F}_{\mathrm{ext}} refere-se à soma das forças externas sobre o sistema, M é a massa total do sistema, e \scriptstyle \vec {a}_{\mathrm{c.m.}} é a aceleração do centro de massa do sistema.
Para um sistema com massa variável puntual ou tratado como tal em vista da definição de centro de massa, a equação geral do movimento é obtida mediante a derivada total encontrada na segunda lei em sua forma primeira (regra do produto):
\vec F = \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t}
onde \scriptstyle \vec v_{(t)} é a velocidade instantânea da massa sobre o qual se calcula a força e \scriptstyle m_{(t)}  corresponde à massa em questão, ambas no instante t em consideração.
Em análise de lançamento de foguetes é comum expressar-se o termo associado à variação de massa \scriptstyle \vec {v_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}  não em função da massa e da velocidade do objeto mas sim em função da massa ejetada e da velocidade \scriptstyle \vec u  desta massa ejetada em relação ao centro de massa do objeto (em relação à nave) e não em relação ao referencial em uso. Nestes termos, \scriptstyle \vec u  é pois a velocidade relativa da massa ejetada em relação ao veículo que a ejeta. Mediante tais considerações mostra-se que:
\Sigma \vec F_{ext} = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} - \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}
O termo \scriptstyle \vec {u} \frac{\mathrm{d_{(t)}} m}{\mathrm{d}t} no lado direito, conhecido geralmente como o empuxo \scriptstyle \vec E , corresponde à força atuando no foguete em um dado instante devido à ejeção da massa \scriptstyle \mathrm{d}m  com velocidade \scriptstyle \vec u (em relação à nave) devido à ação de seus motores, e o temo à esquerda, \scriptstyle + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} , à força total sobre a nave, incluso qualquer força externa que por ventura esteja simultaneamente atuando sobre o projétil - a saber a força de atrito do ar, ou outra. Vê-se pois, em termos de diferenciais, que a força total F sobre a nave é:
\vec F = + m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \Sigma \vec F_{ext} + \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}
Para um caso ideal sem atrito tem-se pois que:
\vec F = m_{(t)} {\mathrm{d} \vec v_{(t)} \over \mathrm{d}t} = \vec {u_{(t)}} \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t} = \vec E
ou seja, a força a impelir a massa m para frente é devida apenas à ejeção de massa proporcionada pelos seus foguetes para trás (lembre-se que \scriptstyle \vec u  e \scriptstyle d\vec v  têm sentidos opostos, contudo \scriptstyle \frac{\mathrm{d} m_{(t)}}{\mathrm{d}t}  é negativo, pois a massa diminui com o tempo).

  • Síntese das Formulações 



Com uma escolha apropriada de unidades, a segunda lei pode ser escrita de forma simplificada como
\vec a = \frac {\vec {F}} {m} ,
sendo:
  • \vec a : aceleração de um ponto material;
  • \vec {F} : resultante de todas as forças aplicadas ao ponto material;
A segunda lei de Newton também podem ser formulada de forma mais abrangente, utilizando-se para tal o conceito de quantidade de movimento.
Em um referencial inercial a taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo é igual à resultante de todas as forças externas a ele aplicadas:
\frac {d \vec p} {dt} = \vec{F},
sendo:
  • \vec p=m\vec v: quantidade de movimento;
  • \vec v: velocidade;
  • t: tempo.

Observações referentes à segunda lei de Newton

Quando existem várias forças em um ponto material, tendo em conta que o princípio da superposição aplica-se à mecânica, a segunda lei se escreve como:
m \vec a = \sum_{i=1}^{n} {\vec{F_i}}
ou
\vec p(t) -\vec p(t_0) =\sum_{i=1}^{n} \int^t_{t_0} {\vec{F_i}} \ d t.
A segunda lei de Newton é válida apenas para velocidades muito inferiores a velocidade da luz, e em sistemas de referência inerciais. Para velocidades próximas à velocidade da luz, as leis são usadas são da ​​ teoria da relatividade.
Ao fazer uma força sobre um objeto, quanto menor a massa, maior será a aceleração obtida. Fazendo a mesma força sobre o caminhão de verdade e o de brinquedo resultará em acelerações visivelmente diferentes.


fontes: http://pt.wikipedia.org

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